Share It

Selasa, 09 Oktober 2012

MATEMATIKA DISKRIT-FUNGSI


          Fungsi adalah :
                                jenis khusus dari relasi
          Fungsi f dari X ke Y adalah relasi dari X ke Y yang mempunyai sifat :
1.       Domain dari f adalah X
2.       Jika (x,y), (x,y)’ Î f, maka y = y’
          Notasi :
                                f : X à Y

 Definisi (cont)
          Domain dari f adalah X
Ä  Tiap komponen domain mempunyai pasangan (relasi)
          Jika (x,y), (x,y)’ Î f, maka y = y’
Ä  Tiap komponen tidak boleh mempunyai 2 pasangan 

FUNGSI





BUKAN FUNGSI


 CONTOH

          f = {(1,a),(2,b),(3,a)}

                X = {1,2,3}
                Y = {a,b,c}

                                f : X à Y               è fungsi

          f = {(1,a),(2,b),(3,a)}

                X = {1,2,3,4}
                Y = {a,b,c}

                                f : X à Y               è bukan fungsi

          f = {(1,a),(2,b),(3,c),(1,b)}
                X = {1,2,3}
                Y = {a,b,c}

                                f : X à Y               è bukan fungsi
Spesifikasi fungsi

1.       Himpunan pasangan terurut
Fungsi adalah relasi sedangkan relasi dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut
2.       Formula pengisian nilai (assignment)
Asumsi daerah asal fungsi (domain) dan daerah hasil fungsi (range) fungsi : R maka himpunan pasangan terurut didefinisikan sebagai
                                f = { (x1, x2) | x Î R }
3.       Kata-kata
Fungsi secara eksplisit dapat dinyatakan dalam rangkaian kata-kata
4.       Kode program
Fungsi dispesifikasikan dalam bentuk kode program.

KORESPONDEN SATU-SATU/INJEKTIF

          Fungsi f dari X ke Y dikatakan berkoresponden satu-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika untuk setiap y Î Y, terdapat paling banyak satu x Î X dengan f(x) = y
          Contoh :
                                Fungsi f = {(1,a),(2,b),(3,a)}
                                dari X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c,d}
                                à koresponden bukan satu-satu 

 DIPETAKAN PADA (ONTO)

          Jika f adalah fungsi dari X ke Y dan daerah hasil dari f adalah Y, f dikatakan dipetakan pada (onto) Y (atau suatu fungsi pada atau suatu fungsi surjektif)
          Contoh :
                                Fungsi f = {(1,a),(2,b),(3,c)}
                                dari X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c}
                                à koresponden satu-satu dan dipetakan pada Y

BIJEKSI

          Sebuah fungsi yang baik satu-satu maupun pada disebut bijeksi (bijection)
          Contoh :
                                Fungsi f = {(1,a),(2,b),(3,c)}
                                dari X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c}
                                à bijeksi 

 OPERATOR BINER

          Operator Biner pada himpunan X menggabungkan dengan setiap pasangan terurut dari anggota di X satu anggota di X
          Fungsi dari X x X ke dalam X disebut operator biner pada X
          Contoh :
X = {1,2,…}.  Jika didefinisikan :

                                                f(x,y) = x + y


Maka f merupakan operator biner pada X

UNARY OPERATOR

          Operator uner pada himpunan X menggabungkan dengan anggota tunggal dari X satu anggota di X
          Fungsi dari X ke dalam X disebut operator uner (unary operator) pada X
          Contoh :
U merupakan himpunan semesta. Jika didefinisikan :

maka f adalah operator uner pada Ã(U)

FUNGSI INVERSI

          Notasi : f-1
          Jika f adalah berkoresponden satu-satu dari A ke B maka dapat menemukan balikan atau inversi (invers) dari f
          Fungsi yang berkoresponden satu-satu sering dinamakan fungsi yang invertible (dapat dibalikkan) karena dapat mendefinsikan fungsi balikkannya
          Fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika bukan fungsi yang berkoresponden satu-satu karena fungsi balikkannya tidak ada


CONTOH

          Tentukan invers fungsi f(x) = x – 1
Jawaban :
f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-satu jadi balikkan fungsinya ada
f(x) = y à  y = x -1
Sehingga :
                x = y + 1
Invers fungsi balikkannya adalah :
                f-1(y) = y + 1
          Tentukan invers fungsi f(x) = x2 + 1
Jawaban :
f(x) = x2 + 1 à bukan fungsi yang berkoresponden satu-satu sehingga fungsi inversinya tidak ada
Sehingga f(x) = x2 + 1 adalah fungsi yang not invertible

KOMPOSISI

          Misalkan g adalah sebuah fungsi dari X ke Y dan f fungsi dari Y ke Z. Jika diberikan x Î X
Ä  g untuk menentukan anggota unik y = g(x) Î Y
Ä  f untuk menentukan anggota unik z = f(y) = f(g(x)) Î Z
          Notasi : (f o g)(a) = f(g(a))  à fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f 


(f o g) (a)

CONTOH

          Fungsi g = {(1,a),(2,a),(3,c)} memetakan X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c} dan fungsi f = {(a,y), (b,x), (c,z)} memetakan Y = { a,b,c} ke Z = { x,y,z} maka komposisi dari X ke Z adalah :
                                                f o g = {(1,y),(2,y),(3,z)}
FUNGSI FAKTORIAL

          Untuk sembarang bilangan bulat tidak negatif n
          Dilambangkan dengan :
                                                n!

          Didefinisikan sebagai :








                                    

          Contoh :
                0! = 1
                1! = 1
                2! = 1x2 = 2x1 = 2
                3! = 1x2x3 = 3x2x1 = 6
                5! = 1x2x3x4x5 = 5x4x3x2x1 = 120


FUNGSI EKSPONENSIAL

          Fungsi eksponensial berbentuk :



                                                               1                   , n = 0
                                                an =

                                                                a x a x … x a, n > 0
                                                                                n




          Untuk kasus perpangkatan negatif :







          Contoh :
     -      43 = 4 x 4 x 4 = 64
              -  4-3 = 1/64

FUNGSI LOGARITMIK

          Fungsi logaritmik berbentuk :

          Contoh :
          4log 64 = 3 karena 64 = 43
          ë 2log 1000û = 9 karena 29 = 512 tetapi 210 = 1024
FUNGSI REKURSIF

          Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri
          Fungsi rekursif disusun oleh 2 bagian :
F  Basis
Ä  Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri.
Ä  Bagian ini menghentikan definisi rekursif (dan memberikan sebuah nilai yang terdefinisi pada fungsi rekursif)
F  Rekurens
Ä  Bagian yang mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri 
Ä  Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis)


          Misalkan f(n) = n! maka fungsi faktorial dapat dituliskan sebagai :
 


FUNGSI REKURSIF (CONT)

          Perhitungan n! secara rekursif :
          Basis
n! = 1                   jika n = 0
          Rekurens
n! = n x (n-1)!  Jika n > 0
          Contoh :
5! = 5 x 4!      (rekurens)
             4! = 4 x 3!
                          3! = 3 x 2!
                                                               2! = 2 x 1!
                                                                           1! = 1 x 0!
                                                                                        0! = 1
Sehingga :
              0! = 1
              1! = 1 x 0! = 1 x 1 = 1
              2! = 2 x 1! = 2 x 1 = 2
              3! = 3 x 2! = 3 x 2 = 6
              4! = 4 x 3! = 4 x 6 = 24
              5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120
Jadi 5! = 120

CONTOH

          Misalkan n menyatakan bilangan bulat positif dan fungsi f didefinisikan secara rekursif :



Tentukan :
          f(25)                                     
          f(10)
Penyelesaian :
          f(25) = f(ë25/2û)+1 = f(12) + 1
                                     = [f(ë12/2û)+1] + 1 = f(6) + 1 + 1 = f(6) + 2
                                     = [f(ë6/2û)+1 ] + 2 = f(3) + 1 + 2 = f(3) + 3
                                     = [f(ë3/2û)+1 ] + 3 = f(1) + 1 + 3 = f(1) + 4
                                     = 0 + 4 = 4
           f(10) = f(ë10/2û)+1 = f(5) + 1
                                     = [f(ë5/2û)+1] + 1 = f(2) + 1 + 1 = f(2) + 2
                                     = [f(ë2/2û)+1 ] + 2 = f(1) + 1 + 2 = f(1) + 3
                                     = 0 + 3 = 3



1 komentar: