•
Fungsi adalah :
jenis
khusus dari relasi
•
Fungsi f dari X ke Y adalah relasi dari X ke Y
yang mempunyai sifat :
1. Domain
dari f adalah X
2. Jika
(x,y), (x,y)’ Î f,
maka y = y’
•
Notasi :
f
: X à Y
Definisi (cont)
•
Domain dari f adalah X
Ä Tiap
komponen domain mempunyai pasangan (relasi)
•
Jika (x,y), (x,y)’ Î f, maka y = y’
Ä Tiap
komponen tidak boleh mempunyai 2 pasangan
FUNGSI
BUKAN FUNGSI
CONTOH
•
f = {(1,a),(2,b),(3,a)}
X =
{1,2,3}
Y =
{a,b,c}
f
: X à Y è
fungsi
•
f = {(1,a),(2,b),(3,a)}
X =
{1,2,3,4}
Y =
{a,b,c}
f
: X à Y è
bukan fungsi
•
f = {(1,a),(2,b),(3,c),(1,b)}
X =
{1,2,3}
Y =
{a,b,c}
f
: X à Y è
bukan fungsi
Spesifikasi fungsi
1.
Himpunan pasangan terurut
Fungsi adalah relasi sedangkan relasi dinyatakan sebagai
himpunan pasangan terurut
2.
Formula pengisian nilai (assignment)
Asumsi daerah asal fungsi (domain) dan daerah hasil fungsi
(range) fungsi : R maka himpunan pasangan terurut didefinisikan sebagai
f
= { (x1, x2) | x Î
R }
3.
Kata-kata
Fungsi secara eksplisit dapat dinyatakan dalam rangkaian
kata-kata
4.
Kode program
Fungsi dispesifikasikan dalam bentuk kode program.
KORESPONDEN SATU-SATU/INJEKTIF
•
Fungsi f dari X ke Y dikatakan berkoresponden
satu-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika untuk setiap y Î Y, terdapat paling banyak
satu x Î X
dengan f(x) = y
•
Contoh :
Fungsi
f = {(1,a),(2,b),(3,a)}
dari
X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c,d}
à koresponden bukan
satu-satu
DIPETAKAN PADA (ONTO)
•
Jika f adalah fungsi dari X ke Y dan daerah
hasil dari f adalah Y, f dikatakan dipetakan pada (onto) Y (atau suatu
fungsi pada atau suatu fungsi surjektif)
•
Contoh :
Fungsi
f = {(1,a),(2,b),(3,c)}
dari
X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c}
à koresponden satu-satu
dan dipetakan pada Y
BIJEKSI
•
Sebuah fungsi yang baik satu-satu maupun pada
disebut bijeksi (bijection)
•
Contoh :
Fungsi
f = {(1,a),(2,b),(3,c)}
dari
X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c}
à bijeksi
OPERATOR BINER
•
Operator Biner pada himpunan X menggabungkan
dengan setiap pasangan terurut dari anggota di X satu anggota di X
•
Fungsi dari X x X ke dalam X disebut operator
biner pada X
•
Contoh :
X = {1,2,…}. Jika
didefinisikan :
f(x,y) = x + y
Maka f merupakan operator biner pada X
UNARY OPERATOR
•
Operator uner pada himpunan X menggabungkan
dengan anggota tunggal dari X satu anggota di X
•
Fungsi dari X ke dalam X disebut operator uner
(unary operator) pada X
•
Contoh :
U merupakan himpunan semesta. Jika didefinisikan :
maka f adalah operator uner pada Ã(U)
FUNGSI INVERSI
•
Notasi : f-1
•
Jika f adalah berkoresponden satu-satu dari A ke
B maka dapat menemukan balikan atau inversi (invers) dari f
•
Fungsi yang berkoresponden satu-satu sering
dinamakan fungsi yang invertible (dapat dibalikkan) karena dapat
mendefinsikan fungsi balikkannya
•
Fungsi dikatakan not invertible (tidak
dapat dibalikkan) jika bukan fungsi yang berkoresponden satu-satu karena fungsi
balikkannya tidak ada
CONTOH
•
Tentukan invers fungsi f(x) = x – 1
Jawaban :
f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-satu
jadi balikkan fungsinya ada
f(x) = y à y = x -1
Sehingga :
x = y +
1
Invers fungsi balikkannya adalah :
f-1(y)
= y + 1
•
Tentukan invers fungsi f(x) = x2 + 1
Jawaban :
f(x) = x2 + 1 à
bukan fungsi yang berkoresponden satu-satu sehingga fungsi inversinya tidak ada
Sehingga f(x) = x2 + 1 adalah fungsi yang not
invertible
KOMPOSISI
•
Misalkan g adalah sebuah fungsi dari X ke Y dan
f fungsi dari Y ke Z. Jika diberikan x Î
X
Ä g
untuk menentukan anggota unik y = g(x) Î
Y
Ä f
untuk menentukan anggota unik z = f(y) = f(g(x)) Î
Z
•
Notasi : (f o g)(a) = f(g(a)) à
fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f
(f o g) (a)
CONTOH
•
Fungsi g = {(1,a),(2,a),(3,c)} memetakan X =
{1,2,3} ke Y = {a,b,c} dan fungsi f = {(a,y), (b,x), (c,z)} memetakan Y = {
a,b,c} ke Z = { x,y,z} maka komposisi dari X ke Z adalah :
f
o g = {(1,y),(2,y),(3,z)}
FUNGSI FAKTORIAL
•
Untuk sembarang bilangan bulat tidak negatif n
•
Dilambangkan dengan :
n!
Didefinisikan sebagai :
•
Contoh :
0! = 1
1! = 1
2! =
1x2 = 2x1 = 2
3! =
1x2x3 = 3x2x1 = 6
5! =
1x2x3x4x5 = 5x4x3x2x1 = 120
FUNGSI EKSPONENSIAL
•
Fungsi eksponensial berbentuk :
1 , n = 0
an =
a
x a x … x a, n > 0
n
•
Untuk kasus perpangkatan negatif :
•
Contoh :
- 43 = 4 x 4 x 4 = 64
- 4-3 =
1/64
FUNGSI LOGARITMIK
•
Fungsi logaritmik berbentuk :
•
Contoh :
•
4log 64 = 3 karena 64 = 43
•
ë
2log 1000û = 9
karena 29 = 512 tetapi 210 = 1024
FUNGSI REKURSIF
•
Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi
fungsinya mengacu pada dirinya sendiri
•
Fungsi rekursif disusun oleh 2 bagian :
F Basis
Ä Bagian
yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri.
Ä Bagian
ini menghentikan definisi rekursif (dan memberikan sebuah nilai yang
terdefinisi pada fungsi rekursif)
F Rekurens
Ä Bagian
yang mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri
Ä Setiap
kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat
ke nilai awal (basis)
•
Misalkan f(n) = n! maka fungsi faktorial dapat
dituliskan sebagai :
FUNGSI REKURSIF (CONT)
•
Perhitungan n! secara rekursif :
•
Basis
n! = 1 jika n = 0
•
Rekurens
n! = n x (n-1)! Jika n > 0
•
Contoh :
5! = 5 x 4! (rekurens)
4! = 4 x 3!
3! = 3 x 2!
2! = 2 x 1!
1! = 1 x 0!
0! = 1
Sehingga :
0!
= 1
1!
= 1 x 0! = 1 x 1 = 1
2!
= 2 x 1! = 2 x 1 = 2
3!
= 3 x 2! = 3 x 2 = 6
4!
= 4 x 3! = 4 x 6 = 24
5!
= 5 x 4! = 5 x 24 = 120
Jadi 5! = 120
CONTOH
•
Misalkan n menyatakan bilangan bulat
positif dan fungsi f didefinisikan secara rekursif :
Tentukan :
•
f(25)
•
f(10)
Penyelesaian :
•
f(25) = f(ë25/2û)+1 = f(12) + 1
= [f(ë12/2û)+1] + 1 = f(6) + 1 + 1 =
f(6) + 2
= [f(ë6/2û)+1 ] + 2 = f(3) + 1 + 2 =
f(3) + 3
= [f(ë3/2û)+1 ] + 3 = f(1) + 1 + 3 =
f(1) + 4
= 0 + 4 = 4
•
f(10) =
f(ë10/2û)+1 = f(5) + 1
= [f(ë5/2û)+1] + 1 = f(2) + 1 + 1 =
f(2) + 2
= [f(ë2/2û)+1 ] + 2 = f(1) + 1 + 2 =
f(1) + 3
= 0 + 3 = 3
materinya bermanfaat, trimakasih.. :)
BalasHapus